Биномиальный коэффициент (binomial coefficient)

Биномиальный коэффициент (binomial coefficient) — это число, которое определяет количество возможных комбинаций из n элементов, выбранных k элементов за раз, без учета порядка. Этот коэффициент имеет важное значение в комбинаторике, вероятности и других областях математики.

Обозначается биномиальный коэффициент как C(n,k) или nCk, и вычисляется с помощью формулы:

C(n,k)=k!⋅(n−k)!n!​

Где:

  • n — общее количество элементов в множестве (например, количество возможных вариантов),
  • k — количество элементов, которые мы хотим выбрать (например, количество элементов в одной комбинации),
  • !n! — факториал числа n, произведение всех положительных целых чисел от 1 до n,
  • !k! — факториал числа k,
  • !(n−k)! — факториал разности n и k.

Пример: Пусть у нас есть множество {A, B, C, D, E} и мы хотим выбрать 2 элемента из него. Тогда биномиальный коэффициент (5,2)C(5,2) будет вычислен следующим образом:

(5,2)=5!2!⋅(5−2)!=1202⋅6=10C(5,2)=2!⋅(5−2)!5!​=2⋅6120​=10

Это означает, что из данного множества можно выбрать 10 различных комбинаций из 2 элементов.

Биномиальный коэффициент имеет также важное значение в биномиальном распределении и теории вероятности, где он используется для вычисления вероятности определенного числа успехов в серии независимых биномиальных экспериментов.

import math

# Функция для вычисления биномиального коэффициента
def binomial_coefficient(n, k):
    return math.factorial(n) / (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))

# Вычисление биномиального коэффициента C(5, 2)
n = 5
k = 2
binom_coeff = binomial_coefficient(n, k)
print(f"Биномиальный коэффициент C({n}, {k}) = {binom_coeff}")

# Пример анализа данных: вероятность определенного числа успехов
p_success = 0.7  # Вероятность успеха в одном эксперименте
num_trials = 5   # Общее количество экспериментов
num_successes = 3  # Число успехов, которое мы хотим вычислить

# Вычисление вероятности получения 3 успехов из 5 экспериментов
probability = binom_coeff * (p_success ** num_successes) * ((1 - p_success) ** (num_trials - num_successes))
print(f"Вероятность получения {num_successes} успехов из {num_trials} экспериментов: {probability:.4f}")

print(f"Биномиальный коэффициент C({n}, {k}) = {binom_coeff}")- Биномиальный коэффициент C(5, 2) = 10.0
print(f"Вероятность получения {num_successes} успехов из {num_trials} экспериментов: {probability:.4f}") - Вероятность получения 3 успехов из 5 экспериментов: 0.3087

В этом примере кода:

  • Мы определяем функцию binomial_coefficient для вычисления биномиального коэффициента с использованием факториалов из библиотеки math.
  • Затем мы вычисляем биномиальный коэффициент для (5,2)C(5,2).
  • Мы также проводим анализ данных, вычисляя вероятность определенного числа успехов (например, получение 3 успехов из 5 экспериментов) в серии биномиальных экспериментов с заданной вероятностью успеха.

Теги: